Сегодня поговорим про связь между ИХ и АЧХ. Более конкретно, про некоторые зависимости между ними. Это позволит нам создавать и анализировать более сложные фильтры в дальнейшем.
Каскадное применение фильтров сказывается на ИХ и на АЧХ. Здесь правило очень простое:
При последовательном применении фильтров импульсные характеристики сворачиваются, а амлитудно-частотные перемножаются.
Это простое правило, которое появляется везде, где есть переходы между волновым и спектральным представлением. То, что для волны свертка, то для спектра перемножение. Позже мы узнаем, что и преобразование Фурье переводит перемножение в свертку.
Как раз этот факт говорит нам о том, что с каскадом фильтров куда удобнее работать, чем с суммой фильтров - то есть параллельным применением. Поскольку суммируя фильтры нужно суммировать их комплексные АЧХ - и если фильтры сильно изменяют фазы, то результат суммирования будет очень отличаться от простой суммы обычных действительных АЧХ. И если мы берем более менее сложные фильтры, то зачастую HP - это не есть исходный сигнал минус LP.
Задача превращения фильтра низких частот в фильтр высоких частот все-таки может быть решена, если применить следующее правило:
Симметричное отражение АЧХ по горизонтали (то есть высокие и низкие частоты меняются местами) эквивалентно тому, что в свертке каждый четный отсчет умножается на (-1).
Удобное правило, которое можно использовать для фильтров конечной импульсной характеристики.
Для начала хочу рассказать как выглядит график АЧХ на самом деле. Только потому, что мы пользуемся теоремой Найквиста-Котельникова, мы ограничиваем все представляемые нам частоты нулем и половиной частоты дискретизации. На самом деле, АЧХ определена и за пределами этого отрезка. Набор АЧХ из прошлой части статьи выглядит вот так:
А если выйти еще дальше, то увидим такую картину:
Теперь понятно, что АЧХ на самом деле периодична и определена на всей оси. Теперь еще одно простое правило:
Если ИХ растянуть в n раз, то АЧХ сожмется в n раз.
То есть, если брать для фильтра отсчеты идущие через какой-то промежуток, то АЧХ сожмется. К примеру, для биквадратного фильтра взять те же коэффициенты, но другую схему, вот такую:
| in20 | 0 | ... | 0 | in10 | 0 | ... | 0 | input |
| out20 | 0 | ... | 0 | out10 | 0 | ... | 0 | ? |
(Нули означают, что эти отсчеты всё таки записываются в буффер, но их вес для результата нулевой.) Тогда АЧХ сожмется в 10 раз:
Это как раз объясняет почему задержки длиной несколько миллисекунд с обратной связью, имеют характерные отзвуки. Да потому что они суть просто растянутые во времени биквадратные фильтры и их АЧХ выглядит вот таким образом:
